Об асимптотике фундаментального решения параболического уравнения второго порядка

Исследуется поведение при $t\to\infty$ фундаментального решения (ФР) $G(x,s,t)$ задачи Коши для параболического уравнения $G_t-G_{xx}+b(x)G_x+a(x)G=0$, $x\in\mathbf R^1$, $t>0$. Предполагается, что для коэффициентов $b(x)$, $a(x)$ при $x\to\pm\infty$ справедливы представления вида $b(x)=b_1^{\pm}x^{-1}+\varphi_1(x)$, $a(x)=a_2^{\pm}x^{-2}+\varphi_2(x)$, где функции $\varphi_i(x)$, в свою очередь, при $x\to\pm\infty$ разлагаются в асимптотические ряды по положительным степеням $x^{-1}$, и $|\varphi_i(x)|=o(|x|^{-i})$. Построено и обосновано асимптотическое разложение ФР $G(x,s,t)$ при $t\to\infty$ с точностью до любой степени $t^{-1}$ для всей плоскости $x,s\in\mathbf R^1$.