Задание эквивалентной метрики в линейном метрическом пространстве семейством его подмножеств

Предложен способ задания в линейном метрическом пространстве метрики, эквивалентной его исходной метрике. Доказывается теорема: пусть $X$ – метризуемое линейное топологическое пространство, $A$ – симметричная замкнутая окрестность нуля $\theta$ в $X$, $r>0$; тогда существует такая инвариантная относительно сдвига метрика $d$ на $X$, порождающая исходную топологию пространства $X$, что $\{x\in X:d(\theta,x)<r\}=A$.