О приближенном решении одномерной линейной сингулярно возмущенной задачи

На отрезке [-1,1] рассматривается первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром $\varepsilon\in(0,1]$ при старшей производной, решение которой имеет два пограничных слоя экспоненциального типа порядка $\varepsilon$. На искомом отрезке вводится кусочно-неравномерная сетка с $2N$ узлами. В пограничных слоях она сгущается по определенному правилу, зависящему от $\varepsilon$, а вне пограничных слоев сетка равномерная. На построенной сетке рассматривается схема с направленными разностями. Доказывается сходимость этой схемы с точностью $O(N^{-1}\ln N)$ при $mN\varepsilon\ge1$. В заключение приводится метод нахождения приближенного решения искомой дифференциальной задачи с той же точностью при $mN\varepsilon<1$.