Сеточная аппроксимация с улучшенной скоростью сходимости для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения конвекции-диффузии

На прямоугольнике рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений с конвективными членами в случае, когда граница области не имеет характеристических участков; старшие производные уравнений содержат параметр $\varepsilon$, принимающий произвольные значения из полуинтервала (0,1]. Для таких задач конвекции-диффузии $\varepsilon$-равномерная скорость сходимости хорошо известных схем на кусочно-равномерных сетках не выше первого порядка (в равномерной $L_\infty$-норме). Для указанной краевой задачи с использованием метода декомпозиции области, основанного на технике асимптотических разложений решений, строятся схемы, сходящиеся $\varepsilon$-равномерно со скоростью $\mathcal O(N^{-2}\ln^2N)$, где $N$ – характеризует число узлов сетки по каждой переменной. Используются кусочио-равномерные сетки, сгущающиеся в пограничных слоях. При не слишком малых значениях параметра (по сравнению с эффективным шагом сетки) применяются классические разностные аппроксимации с аппроксимацией первых производных центральными разностными производными. При малых значениях параметра используются аппроксимации “вспомогательных” подзадач, описывающих главные члены асимптотических представлений решения в окрестности пограничного слоя и вне его; указанные подзадачи на подобластях (в методе декомпозиции области) решаются на равномерных сетках. Отметим, что вычисление решений построенной разностной схемы существенно упрощается при достаточно малых значениях параметра $\varepsilon$.