Задачи минимизации Больца для управляемой модели конкуренции Лотки — Вольтерры

Для изучения взаимосвязей между концентрациями здоровых и раковых клеток при раковых заболеваниях крови применяется математическая модель конкуренции Лотки — Вольтерры. В эту модель добавляются слагаемые, содержащие управляющую функцию, которая задает концентрацию лекарственного препарата или интенсивность терапии, непосредственно убивающей раковые клетки. Рассматриваются два вида ограничений, накладываемых на такую управляющую функцию: ограничения снизу и сверху и ограничение только снизу. В результате возникает управляемая модель конкуренции Лотки — Вольтерры с двумя различными множествами допустимых управлений. Для таких управляемых моделей ставится задача минимизации Больца взвешенной разности концентраций раковых и здоровых клеток как в конечный момент времени заданного периода лечения, так и в течение всего этого периода. Для второго множества допустимых управлений интегральная часть целевой функции дополнительно содержит слагаемое, отражающее стоимость проводимого лечения. Использование принципа максимума Понтрягина позволяет аналитически изучить особенности оптимальных управлений в рассматриваемых задачах минимизации. Для первого множества допустимых управлений выделяются и подробно исследуются случаи, когда оптимальное управление является релейной функцией, а также случаи, когда наряду с релейными участками оно может содержать особые режимы. Установленные результаты подтверждаются соответствующими численными расчетами, выполненными для различных значений параметров и начальных значений управляемой модели конкуренции Лотки — Вольтерры.