О решении систем квадратичных уравнений

В работе рассматривается классическая проблема решения системы квадратичных алгебраических уравнений. Для поиска решения применяется вариационный подход сведения к задаче оптимизации с функциями, представимыми разностью выпуклых функций (DC функций). Задача оптимизации при этом оказывается невыпуклой и негладкой. Используя известные свойства DC функций, удается свести основную задачу оптимизации к гладкой задаче DC минимизации с ограничениями-неравенствами. Для решения последней вначале применяется специальный метод локального поиска (СМЛП), для которого исследована сходимость и обоснованы критерии останова. Тестирование СМЛП на системах с квадратичными данными продемонстрировало достаточную эффективность СМЛП, в том числе по сравнению с известными специальными пакетами прикладных программ (ППП). Процедуры глобального поиска строятся на основе условий глобальной оптимальности (УГО), позволяющих “выскакивать” из локальных решений, стационарных и критических точек. Далее произведено успешное тестирование метода глобального поиска (МГП). При этом сравнительная эффективность разработанного подхода доказана успешным решением всех тестовых систем квадратичных уравнений для задач большой размерности (с количеством уравнений и переменных до 1000). В то же время стандартные ППП на задачах большой размерности продемонстрировали свою неспособность отыскать решение в большинстве тестовых примеров.