О задаче покрытия сферических фигур равными сферическими сегментами

Рассматривается задача о покрытии заданным числом элементов поверхности трехмерного множества, когда последнее — шар или шаровый сегмент, а элементы покрытия — равные сферические сегменты. Критерием оптимизации является минимизация радиуса данных сегментов. Такая постановка относится к относительно мало изученным случаям классической задачи о покрытии односвязного множества шарами, которая актуальна в связи с приложениями в области информационно-телекоммуникационных технологий и логистики. Особенность данного исследования заключается в том, что помимо традиционного евклидового расстояния между точками рассматривается также специальная метрика, характеризующая меру удаленности точек как время перемещения между ними. Предложен новый эвристический алгоритм, основанный на применении сферического аналога диаграммы Вороного и традиционной для авторов оптико-геометрической аналогии, позволяющий решать задачу покрытия неплоских поверхностей. Поскольку материал для сравнения с метрикой общего вида найти не удалось, был особо рассмотрен случай геодезического расстояния на сфере, для которого разработан алгоритм построения наилучшего покрытия посредством отыскания чебышевских центров зон Дирихле с доказательством теоремы, позволяющей оценить его эффективность. Выполнены иллюстрирующие численные расчеты.