Граф с локально проективной транзитивной на вершинах группой автоморфизмов $\operatorname{Aut}(Fi_{22})$, имеющей нетривиальный стабилизатор шара радиуса $2$

Ранее в качестве подтверждения реализуемости одной из возможностей для строения стабилизаторов вершин графов с проективными подорбитами автором было анонсировано существование связного графа $\Gamma$, допускающего изоморфную $\operatorname{Aut}(Fi_{22})$ группу автоморфизмов $G$ со следующими свойствами. Во-первых, группа $G$ действует транзитивно на множестве вершин $\Gamma$, но интранзитивно на множестве $3$-дуг $\Gamma$. Во-вторых, стабилизатор в $G$ вершины графа $\Gamma$ индуцирует на окрестности этой вершины группу $PSL_3(3)$ в естественном дважды транзитивном представлении. В-третьих, поэлементный стабилизатор в $G$ шара радиуса $2$ графа $\Gamma$ неединичен. В настоящей работе дается построение такого графа $\Gamma$, причем со свойством $G = \operatorname{Aut}(\Gamma)$.