О субмодулярности и $\mathrm{K}\mathfrak{F}$-субнормальности в конечных группах

Пусть $\mathfrak F$ — формация и $G$ — конечная группа. Подгруппа $H$ группы $G$ называется $\mathrm{K}\mathfrak F$-субнормальной (субмодулярной) в $G$, если существует цепочка подгрупп $H=H_0\le \ H_1 \le \ \ldots \le \ H_{n-1}\le \ H_n=G$ такая, что для каждого $i$ либо $H_{i}$ нормальна в $H_{i+1}$, либо $H_{i+1}^\mathfrak{F} \le H_i$ ($H_i$ модулярна в $H_{i+1}$ соответственно). Доказано, что примарная подгруппа субмодулярна тогда и только тогда, когда она $\mathrm{K}\mathfrak U_1$-субнормальна в группе. Здесь $\mathfrak U_1$ — формация всех сверхразрешимых групп, порядки элементов которых свободны от квадратов. Более того, для разрешимой наследственной формации $\mathfrak{F}$ установлено, что каждая разрешимая $\mathrm{K}\mathfrak{F}$-субнормальная подгруппа группы $G$ содержится в разрешимом радикале группы $G$. Получен ряд приложений данных результатов к исследованию групп, факторизуемых $\mathrm{K}\mathfrak{F}$-субнормальными и субмодулярными подгруппами.