О константах в неравенстве Бернштейна–Сегё для производной Вейля порядка, меньшего единицы, тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа в равномерной норме

Во множестве $\mathscr{T}_n$ тригонометрических полиномов $f_n$ порядка $n$ с комплексными коэффициентами рассматривается производная Вейля (дробная производная) $f_n^{(\alpha)}$ вещественного неотрицательного порядка $\alpha$. Изучается вопрос о константе в неравенстве Бернштейна–Сегё $\Bigl\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\Bigr\|\le B_n(\alpha,\theta)\|f_n\|$ в равномерной норме. Такое неравенство хорошо изучено при $\alpha\ge 1$. Г. Т. Соколов в 1935 г. доказал, что оно выполняется с константой $n^\alpha$ при всех $\theta\in\mathbb{R}.$ При $0<\alpha<1$ о величине $B_n(\alpha,\theta)$ известно существенно меньше. В данной статье при $0<\alpha<1$ и $\theta\in\mathbb{R}$ получено предельное соотношение $\lim_{n\to\infty}B_n(\alpha,\theta)/n^\alpha=\mathcal{B}(\alpha,\theta),$ где $\mathcal{B}(\alpha,\theta)$ — точная константа в аналогичном неравенстве для целых функций экспоненциального типа не выше 1, ограниченных на вещественной оси. Значение $\theta=-\pi\alpha/2$ соответствует производной Рисса — важному частному случаю оператора Вейля–Сегё. В этом случае для величины $B_n(\alpha)=B_n(\alpha,-\pi\alpha/2)$ получена точная асимптотика при $n\to\infty.$