Об экстремальных тригонометрических полиномах

Пусть $\mathscr{F}_n$ — множество всех тригонометрических полиномов порядка $\le n$, $n\in\mathbb{N}$. Для мультипликаторов $H:\mathscr{F}_n\to\mathscr{F}_n$ доказана интерполяционная формула вида $H(f)(t)=\sum_{k=0}^{2n-1}\Lambda_k f\left(t-\tau+{k\pi}/{n}\right),$ с помощью которой получены неравенства и критерии экстремального полинома в этих неравенствах (теорема 4):
$$ \int_{\mathbb{T}}J\left(|H(f)(t)|\right)\,dt \le \int_{\mathbb{T}}J\left(\varkappa|f(t)|\right)\,dt\,;\;\; \| H(f)\|_p\leqslant \varkappa\|f\|_p,\,1\le p\le\infty,\;\varkappa=|\Lambda_0|+\ldots+|\Lambda_{2n-1}|>0. $$
Здесь функция $J$ выпукла вниз и не убывает на $[0,+\infty)$. Основная цель данной работы — это описание всех экстремальных полиномов в указанных неравенствах. В теореме 5 доказано, что если функция $J$ выпукла вниз и строго возрастает на $[0,+\infty)$ и выполняются два условия: $1)$ $\exists s\in\mathbb{Z}:\,\overline{\Lambda_{s}} \Lambda_{s+1}<0$ и $2)$ $\exists \varepsilon\in\mathbb{C}$, $|\varepsilon|=1:$ $\varepsilon \Lambda_k (-1)^k\ge0$, $k\in\mathbb{Z}$, то в указанных неравенствах экстремальными являются только полиномы вида $f(t)=\mu e^{int}+\nu e^{-int}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. Главные случаи в этой теореме — случаи $p=\infty$ и $p=1$. В теореме 6 доказано, что если функция $J$ выпукла вниз и строго возрастает на $[0,+\infty)$ и для оператора $H$ выполнено условие Сегё (неотрицательность специального тригонометрического полинома), то во всех случаях, кроме одного исключительного, в указанных неравенствах экстремальными являются только полиномы вида $f(t)=\mu e^{int}+\nu e^{-int}$, $\mu,\nu\in\mathbb{C}$. В исключительном случае есть и другие экстремальные полиномы.\linebreak В работе приведены общие примеры операторов $H$, которые удовлетворяют условиям теоремы 6 (пример 1, теоремы 7 и 8). В частности, этим условиям удовлетворяет оператор С. Т. Завалищина (пример 2) и оператор дробной производной $H(f)(t)=f^{(r,\beta)}(t)$, $\beta\in\mathbb{R}$, $r\ge1$, $\varkappa=n^r$ (следствие 3). В работе также описаны экстремальные полиномы в неравенствах Тригуба и Боаса (при некоторых значениях параметров экстремальными являются не только полиномы вида $\mu e^{int}+\nu e^{-int}$).