О развитии вариационного подхода построения оптимальных сеток (обзор)

В статье представлен обзор более полувекового развития вариационного подхода построения оптимальных сеток, предложенного А. Ф. Сидоровым. Изложены концепция подхода, основу которой в качестве критериев оптимальности сеток составляют требования близости сетки к равномерной, ортогональной и адаптации к заданной функции или решению уравнений в частных производных, и ее применение для построения структурированных сеток в двумерных и трехмерных областях геометрически сложной формы. Описываются созданные алгоритмы построения сеток и их приложения. Обзор поделен на два периода: годы жизни ученого и последующие годы. Конструкции функционалов, формализующих критерии оптимальности сеток, изложены применительно к единой технологии построения сеток, созданной во второй период для численного моделирования вихревых процессов многокомпонентной гидродинамики. Приводятся примеры расчетов сеток по развиваемому в настоящее время в рамках указанной технологии алгоритму построения сеток в объемах, полученных деформациями объемов вращения с помощью обобщений объемов вращения. Под объемом вращения понимается конструкция, образованная вращением плоской образующей кривой, состоящей из отрезков прямых, дуг окружностей и эллипсов, называемых элементами, на $180^\circ$ вокруг оси. Обобщение объема вращения представляет собой объем, образованный поверхностями, полученными вращением элементов плоских образующих кривых на $180^\circ$ вокруг параллельных осей. Деформированный объем вращения представляет собой объем, полученный деформацией объема вращения другим объемом вращения или его обобщением. Случаи объемов вращения, обобщений объемов вращения, объемов вращения, деформированных объемами вращения, сформировали описываемую технологию построения сеток. Базовой конструкцией в технологии является объем вращения, позволивший осуществлять ее дальнейшее развитие в направлении усложнения конструкций. В настоящее время возможно строить структурированные сетки в очень сложных трехмерных областях. Такая возможность появилась благодаря применению техники подвижных сеток, естественным образом реализуемой в вариационных конструкциях, и разработки нестационарного алгоритма, осуществляющего деформацию объема вращения до нужной деформированной формы, деформацию и оптимизацию сетки с целью удовлетворения критериев оптимальности.