О некоторых классах свободноконвективных движений

Рассматривается система уравнений нестационарной пространственной естественной конвекции несжимаемой вязкой жидкости в приближении Буссинеска. Авторы применяют ранее предложенные ими методы редукции линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными (УЧП) и систем УЧП к уравнениям и системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В работе описаны общие принципы подходов, развиваемых авторами. Методы основаны на построении системы уравнений характеристик для некоторого базового уравнения в частных производных первого порядка. Базовое уравнение определенным образом конструируется при анализе исходной системы уравнений. Редукции приводят к ОДУ и системам ОДУ, в которых независимая переменная $\psi$, такова, что уравнение $\psi(x,y,z,t)=\mathrm{const}$ задает поверхность уровня для некоторых неизвестных функций исходной системы УЧП. Методы применимы к УЧП и системам УЧП независимо от их типа. Получена редукция уравнений Обербека — Буссинеска к системе ОДУ, имеющей функциональный произвол. Найдено точное решение исходной системы, имеющее константный произвол. Функциональный произвол в построенной редукции позволил также получить систему ОДУ, в которой независимой переменной является температура $T$. Для этой системы также найдены точные решения. В работе проведен анализ возможного движения несжимаемой вязкой жидкости (вихревое или безвихревое) при естественной конвекции. Выделены случаи, когда движение жидкости является вихревым и случаи, когда осуществляется безвихревое движение. Для исходной системы УЧП в результате редукции выписано точное решение, определяющее безвихревое движение жидкости.