О гильбертовых пространствах последовательностей, образованных значениями функций из пространства Баргмана–Фока

В работе изучаются гильбертовы пространства последовательностей, образованные значениями функций из пространства Баргмана — Фока $F$, которое состоит из целых функций, квадрат модуля которых суммируем на плоскости ${\mathbb C}$ с мерой $d\sigma(z):=(1/\pi) e^{-|z|^2}\, dv(z)$, $dv(z)$ — элемент площади:
\begin{equation*} \|f\|^2_F=\int_{\mathbb C}|f(z)|^2\, d\sigma(z)<\infty \quad \forall f\in F. \end{equation*}
Пространство $\overline F$ состоит из функций, комплексно-сопряженных к функциям из $F$, при этом $\|\overline f\|_{\overline F}=\|f\|_{F}\,\forall f\in F$. В статье рассматриваются классы счетных множеств $\Omega_0$, $\Omega_0\subset {\mathbb C}$, вида
$$ \Omega_0\stackrel{def}{=}\{z\in{\mathbb C}\colon z=a n+ibm, ab=\pi\, \forall n,m\in{\mathbb Z}\}, $$
где $a,b$ — некоторые фиксированные (зависящие только от множества $\Omega_0$) вещественные числа, отличные от нуля. Множества $\Omega_0$ называются решетками фон Неймана. Для вещественного числа $k>1$ образуем множество $\Omega_0^k\stackrel{def}{=}k\Omega_0$. В работе установлено, что пространство последовательностей комплексных чисел $V_k$, образованное следами функций из $F^k$ — некоторого подпространства пространства $F$ на множестве $\Omega_0^k$, эквивалентно пространству последовательностей комплексных чисел $U_k$, образованному следами функций из $\overline F^k$ — подпространства пространства $\overline F$ на множестве $\Omega_0^k$. Пространства $\overline F^k$, $\overline F$ состоят из функций комплексно-сопряженных к функциям из пространств $F^k$, $F$ соответственно. При этом нормы в пространствах $V_k$ и $U_k$ индуцируются нормами пространств $F^k$ и $\overline F^k$. Для получения основных результатов статьи используется результат К. Сейпа о дискретных сэмплинг — множествах пространства Баргмана — Фока. Применяются результаты авторов, связанные с вопросами совпадения или эквивалентности гильбертовых пространств с воспроизводящим ядром. При этом важную роль играет введенное ранее авторами понятие согласованности двух полных систем функций. В работе приведены контрпримеры. Построены гильбертовы пространства комплексных чисел $V$ и $U$, являющихся следами на некотором дискретном подмножестве комплексной плоскости функций из $F$, которые не являются эквивалентными.