Решение параболического уравнения типа Гамильтона – Якоби, определяемое простой краевой особенностью

Для параболического уравнения типа {Гамильтона}{ — }{Якоби} $S_t + 2^{-1} (S_x)^2 + V(x,\varepsilon) = S_{xx}$ строится специальное асимптотическое решение с заданной асимптотикой функции потенциала. Поскольку для простоты эта асимптотика выбирается в виде ряда по натуральным степеням малого параметра $\varepsilon$, асимптотическое решение уравнения представляется, соответственно, в виде ряда теории возмущений по целым степеням $\varepsilon$: $S (x,t,\varepsilon) = \sum_{n = 0}^{\infty} \varepsilon^{n} S_n (x,t).$ Главное приближение решения выражается через экспоненциальный интеграл следующим образом:
$$ S_0 (x,t) = - 2 \ln \int\limits_{0}^{+\infty} \exp \left( -\sigma^3 + t \sigma^2 + x \sigma \right) d{\sigma}, $$
где фазой служит версальная деформация ростка простой краевой особенности $B_3$. Асимптотическое поведение этого интеграла на бесконечности по пространственной переменной исследовано методом Лапласа. На основе интегральной рекуррентной формулы с однородным начальным условием для остальных коэффициентов $S_n (x,t)$ доказана теорема существования. Установлены также экспоненциальные оценки этих коэффициентов, гарантирующие сходимость соответствующих интегральных сверток. Показано, что имеет место последовательное нарастание порядка малости невязки, остающейся после подстановки частичных сумм асимптотического решения в рассматриваемое уравнение. Кроме того, доказано существование единственного классического решения, асимптотикой которого является построенный асимптотический ряд. В работе также обсуждается постановка рассматриваемой задачи в свете известных подходов к изучению уравнения Гамильтона — Якоби. Показана связь полученного результата с общей теорией особенностей дифференцируемых отображений.