|
Спектр одномерных собственных колебаний двухфазных слоистых сред с периодической структурой
В. В. Шумилова Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, г. Москва
Аннотация:
В работе исследуется спектр одномерных собственных колебаний
вдоль оси $Ox_1$ двухфазных слоистых сред с периодической
структурой, занимающих полосу $0<x_1<L$. Их периодом является
полоса $0<x_1<\varepsilon$, содержащая $2M$ чередующихся слоев
изотропного упругого или вязкоупругого материала (первой фазы) и
вязкой несжимаемой жидкости (второй фазы). Предполагается, что
число периодов $N=L/ \varepsilon$ — целое число, а слои
параллельны плоскости $Ox_2 x_3$. Указанный спектр обозначается
через $S_\varepsilon$ и определяется как множество
собственных значений краевой задачи для однородной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
с условиями сопряжения на границах раздела твердых и жидких слоев.
Эти условия непосредственно выводятся из исходного предположения
о непрерывности перемещений и нормальных напряжений на границах
раздела слоев. Показано, что спектр $S_\varepsilon$ состоит из корней
трансцендентных уравнений, число которых равно
числу периодов $N$, содержащихся внутри полосы $0<x_1<L$.
За исключением одного частного случая, корни этих уравнений
могут быть найдены только численно.
Для многослойных сред при $N\gg 1$ в качестве начальных
приближений к точкам спектра $S_\varepsilon$ предложено использовать
конечные пределы последовательностей
$\lambda(\varepsilon)\in S_\varepsilon$ при $\varepsilon\to 0$.
Установлено, что множество всех конечных пределов совпадает
с множеством корней рациональных уравнений, обозначаемым
через $S$. Коэффициенты этих уравнений, а значит, и точки
множества $S$ зависят от объемной доли жидкости в слоистой среде
и не зависят от числа $M$ жидких слоев внутри периода.
Доказано, что при любом $M\geq 1$ спектр $S_\varepsilon$
сходится по Хаусдорфу к множеству $S$ при $\varepsilon\to 0$.
Ключевые слова:
спектр собственных колебаний, слоистая среда, двухфазная среда, упругий материал, вязкоупругий материал, вязкая несжимаемая жидкость.
Поступила в редакцию: 04.08.2022 Исправленный вариант: 31.10.2022 Принята в печать: 07.11.2022
Образец цитирования:
В. В. Шумилова, “Спектр одномерных собственных колебаний двухфазных слоистых сред с периодической структурой”, Тр. ИММ УрО РАН, 28, № 4, 2022, 250–261
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/timm1967 https://www.mathnet.ru/rus/timm/v28/i4/p250
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 54 | PDF полного текста: | 9 | Список литературы: | 10 |
|