Неравенство Бернштейна - Сеге для тригонометрических полиномов в пространстве $L_0$ с константой большей, чем классическая

Во множестве $\mathscr{T}_n$ тригонометрических полиномов $f_n$ порядка $n$ с комплексными коэффициентами рассматривается производная Вейля (дробная производная) $f_n^{(\alpha)}$ вещественного неотрицательного порядка $\alpha$. Изучается точная константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ в неравенстве Бернштейна — Сеге $\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p\|f_n\|_p.$ Такие неравенства иccледуются уже больше 90 лет. Известно, что при $1\le p\le\infty,\,\alpha\ge 1$ и $\theta\in\mathbb R$ константа имеет классическое значение $B_n(\alpha,\theta)_p=n^\alpha$. Случай $p=0$ интересен как минимум по той причине, что константа $B_n(\alpha,\theta)_0$ является наибольшей по $p$ при $p\in[0,\infty]$. В. В. Арестов доказал, что при $r\in\mathbb N$ неравенство Бернштейна в $L_0$ выполняется с константой $B_n(r,0)_0=n^r$, а константа $B_n(\alpha,\pi/2)_0$ в неравенстве Сеге в $L_0$ с ростом $n$ ведет себя как $4^{n+o(n)}$. В 1994 г. В. В. Арестов, а в 2014 В. В. Арестов и П. Ю. Глазырина изучали вопрос об условиях на параметры $n$ и $\alpha$, при которых константа в неравенстве Бернштейна — Сеге принимает классическое значение $n^\alpha$. Недавно автором была доказана гипотеза В. В. Арестова и П. Ю. Глазыриной о том, что при $\alpha\ge 2n-2$ при всех $\theta\in\mathbb R$ неравенство Бернштейна — Сеге выполняется с константой $n^\alpha$. Открытым остается вопрос о точности границы $\alpha=2n-2,$ точнее говоря, вопрос о точной константе при $\alpha<2n-2.$ В данной статье доказано, что для любого $0\le\alpha<n$ найдется $\theta^*(\alpha)$ такое, что $B_n(\alpha, \theta^*(\alpha))_0>n^\alpha.$