О сходимости подпоследовательности частных сумм тригонометрического ряда Фурье по Прингсхейму

Из знаменитой теоремы А. Н. Колмогорова (1925) вытекает, что частные суммы любой интегрируемой функции $f$ сходятся к ней по мере. Следовательно, если подпоследовательность частных сумм имеет предел на множестве положительной меры, то она на этом множестве может сходиться только к $f$. В то же время Р. Д. Гецадзе (1986) показал, что в пространстве размерности больше 1 кубические частные суммы интегрируемой функции могут не сходиться по мере. В работе автора (1989) показано, что функцию можно выбрать так, что любая подпоследовательность кубических частных сумм почти всюду не ограничена. Оставался открытым вопрос: верно ли, что если подпоследовательность кубических частных сумм сходится на множестве положительной меры, то ее пределом почти всюду на этом множестве будет исходная функция? Мы даем положительный ответ на этот вопрос, причем не только для кубических сумм, но и для сумм по Прингсхейму. Для сферических сумм соответствующий вопрос остается открытым. Подпоследовательности частных сумм связаны с универсальными тригонометрическими рядами. Мы будем говорить, что $d$-мерный тригонометрический ряд является универсальным, если для любой измеримой $d$-мерной функции $f$, $2\pi$-периодической по каждому переменному, найдется подпоследовательность частных сумм этого ряда, сходящаяся к $f$ почти всюду. Это определение зависит от выбора класса частных сумм тригонометрического ряда. Из недавнего результата М. Г. Григоряна (2022), в частности, следует, что для любого $d$ существует $d$-мерный тригонометрический ряд, универсальный как для сумм Прингсхейма, так и для сферических частных сумм. В силу основного результата настоящей работы ряд Фурье не может быть универсальным для сумм Прингсхейма.