Порядковые равенства в пространствах $L_p(\mathbb T), 1 $< $p$ < $\infty$, для наилучших приближений и модулей гладкости производных периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье

Обозначим через $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ класс всех функций $f\in L_p(\mathbb T)$, коэффициенты Фурье которых удовлетворяют условиям: $a_0(f)=0,$ $0<n^ra_n(f)\downarrow 0$, $0<n^rb_n(f)\downarrow 0$ $(n\uparrow \infty),$ где $1<p<\infty$, $r\in \mathbb N$, $\mathbb T=(-\pi,\pi].$ В статье установлены порядковые равенства на классе $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ между наилучшими приближениями $E_{n-1}(f^{(r)})_p$ тригонометрическими полиномами порядка $n-1$ и модулями гладкости $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p$ $k$-х порядков $r$-х производных $f^{(r)},$ с одной стороны, и различными выражениями, содержащими элементы последовательностей $\{E_{\nu-1}(f)_p\}_{\nu=1}^{\infty}$ и $\{\omega_l(f;\pi/\nu)_p\}_{\nu=1}^{\infty},$ где $l,k\in\mathbb N$, $l>r$, с другой стороны. Ниже сформулированы основные результаты, полученные в этой работе. Для того чтобы функция $f$ из $M_p^{(r)}(\mathbb T)$ принадлежала классу $L_p^{(r)}(\mathbb T)$ (— класс функций $f\in L_p(\mathbb T)$, имеющих абсолютно непрерывные $(r-1)$-е производные $f^{(r-1)}$ и $f^{(r)}\in L_p(\mathbb T)$; $f^{(0)}\equiv f,\ L_p^{(0)}(\mathbb T)\equiv L_p(\mathbb T)$), необходимо и достаточно выполнения одного из следующих эквивалентных условий: $E(f;p;r):=\big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr-1}E_{n-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p}<\infty$ $\Leftrightarrow$ $\Omega(f;p;l;r):= \big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr-1}\omega_{l}^{p}(f;\pi/n)_p\big)^{1/p}<\infty$ $\Leftrightarrow$ $\sigma(f;p;r):=\big(\sum_{n=1}^{\infty}n^{pr+p-2}(a_n(f)+b_n(f))^p\big)^{1/p}<\infty$; при этом имеют место порядковые равенства
$(a)\ E(f;p;r)\asymp \|f^{(r)}\|_p \asymp \sigma(f;p;r) \asymp\Omega(f;p;l;r)$;
$(b)\ E_{n-1}(f^{(r)})_p\asymp n^r E_{n-1}(f)_p+\big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N$;
$(c)\ \omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p\asymp n^{-k}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(k+r)-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p}+ \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N$;
$(d)\ E_{n-1}(f^{(r)})_p+n^r\omega_l(f;\pi/n)_p\asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1} \omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}\asymp \\ \asymp\omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p+n^r\omega_l(f;\pi/n)_p,\ n\in \mathbb N,\ l<k+r$;
$(e)\ n^{-(l-r)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-r)-1}E_{\nu-1}^{p}(f^{(r)})_p\big)^{1/p}\asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}\asymp \\ \asymp n^{-(l-r)}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-r)-1}\omega_k^p (f^{(r)};\pi/\nu)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N,\ l<k+r$;
$(f)\ \omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p \asymp \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p},\ n\in \mathbb N,\ l=k+r$;
$(g)\ \omega_k(f^{(r)};\pi/n)_p \asymp n^{-k}\big(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(k+r)-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p}+ \big(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^{p}(f;\pi/\nu)_p\big)^{1/p},\\ n\in \mathbb N,\ l>k+r$.
В общем случае слагаемое $n^r\omega_l(f;\pi/n)_p$ в п. $(d)$ не допускает исключения как при оценке снизу в левой части (при $l>r)$, так и при оценке сверху в правой части (при $r<l<k+r)$. Однако, если $\{ E_{n-1}(f)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_l^{(p)}$ $(\Rightarrow \{E_{n-1}(f^{(r)})_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_{l-r}^{(p)})$, либо $\{\omega_l(f;\pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_l^{(p)}$ $(\Rightarrow \{ \omega_k(f^{(r)}; \pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}\in B_{l-r}^{(p)})$, где $B_l^{(p)}$ — класс всех последовательностей $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}$ $(0<\varphi_n\downarrow 0$ при $n\uparrow \infty$), удовлетворяющих $(B_l^{(p)})$-условию Н. К. Бари $n^{-l}\big(\sum_{\nu=1}^n \nu^{pl-1}\varphi_{\nu}^p\big)^{1/p}=\mathcal O(\varphi_n),\ n\in\mathbb N$, равносильному $(S_l)$-условию С. Б. Стечкина, то

$$ E_{n-1}(f^{(r)})_p\asymp \Big(\displaystyle\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{pr-1}\omega_l^p\Big(f;\frac{\pi}{\nu}\Big)_p\Big)^{1/p}\asymp \omega_k\Big(f^{(r)};\frac{\pi}{n}\Big)_p,\quad n\in \mathbb N. $$