О почти универсальных двойных рядах Фурье

Первые примеры универсальных тригонометрических рядов в классе измеримых функций построены Д. Е. Меньшовым. Из теоремы А. Н. Колмогорова (ряд Фурье каждой интегрируемой функции по тригонометрической системе сходится по мере) следует, что не существует интегрируемой функции, ряд Фурье которой по тригонометрической системе является универсальным в классе всех измеримых функций. Автором построена функция $U\in L^1(\mathbb{T}),$ $\mathbb{T}=[-\pi,\pi),$ такая, что после выбора подходящих знаков $\{\delta_{k}=\pm1\}_{k=-\infty}^{\infty}$ для ее коэффициентов Фурье, ряд $\sum_{k=0}^{\infty}\delta_{k}\big(a_{k}(U)\cos kx+b_{k}(U)\sin kx\big)$ является универсальным в классе всех измеримых функций. Первые примеры универсальных функций были построены Д. Биркгофом в рамках комплексного анализа, при этом целые функции представлялись в любом круге равномерно сходящимися сдвигами универсальной функции, и Ю. Марцинкевичем — в рамках действительного анализа, при этом любая измеримая функция представлялась как предел почти всюду некоторой последовательности разностных отношений универсальной функции. В данной работе построена интегрируемая функция двух переменных $u(x,y)$ такая, что после выбора подходящих знаков $\{\delta_{k,s}=\pm1\}_{k,s=-\infty}^{\infty}$ для ее коэффициентов Фурье ${\widehat{u}}_{k,s}$ ряд $\sum_{k,s=-\infty}^{\infty}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ по двойной тригонометрической системе $\{e^{ikx}, e^{isy}\}_{k,s=-\infty}^{\infty}$ является универсальным в классе $L^{p}(\mathbb{T}^{2}),$ $p\in(0,1),$ и, следовательно, в классе всех измеримых функций. Точнее, установлено, что как прямоугольные $S_{n,m}(x,y)=\sum_{|k|\leq n}\sum_{|s|\leq m}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$, так и сферические $S_{R}(x,y)=\sum_{k^{2}+s^{2}\leq R^{2}}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ частные суммы ряда $\sum_{k,s=-\infty}^{\infty}\delta_{k,s}{\widehat{u}}_{k,s}e^{i(kx+sy)}$ являются плотными в $L^{p}(\mathbb{T}^{2}).$ С. В. Конягин недавно доказал, что не существует функции $u\in L^{1}(\mathbb{T}^{d}),$ $d\geq2,$ прямоугольные частные суммы кратного тригонометрического ряда Фурье которой являются плотными в $L^{p}(\mathbb{T}^d)$, $p\in(0,1).$ Отсюда следует, что сформулированный в этом абзаце результат автора является в определенном смысле окончательным.