Вольтерровы функциональные уравнения в теории оптимизации распределенных систем. к проблеме сингулярности управляемых начально-краевых задач

Ранее автором была предложена довольно общая форма описания управляемых начально-краевых задач (НКЗ) с помощью вольтерровых функциональных уравнений (ВФУ) вида
$$ z(t)=f\left(t,A[z](t),v(t)\right) ,\quad t\equiv \{t^{1},\ldots,t^{N}\} \in \Pi\subset{\mathbb R}^N ,\quad z\in L_p^m \equiv \left(L_p\left( \Pi \right)\right)^m, $$
где $f(.,.,.):\Pi \times {\mathbb R}^l\times {\mathbb R}^s\rightarrow {\mathbb R}^m;$ $v(.)\in \mathcal{D}\subset L_k^s$ – управление; $A:L_p^m\rightarrow L_q^l$ — линейный оператор, вольтерров на некоторой системе $\mathbf{T}$ подмножеств $\Pi $ в том смысле, что для любого $H\in \mathbf{T}$ сужение $\left. A\left[ z\right] \right| _H$ не зависит от значений $z| _{\Pi\backslash H};$ $p,q,k\in \left[ 1,+\infty \right] $. Это определение вольтерровости — многомерное обобщение известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра. К подобным уравнениям естественным образом (обращением главной части) приводятся разнообразные НКЗ для нелинейных эволюционных уравнений (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с разного рода запаздываниями и др.). Переход к эквивалентному ВФУ-описанию управляемых НКЗ адекватен многим проблемам распределенной оптимизации (получение условий сохранения глобальной разрешимости НКЗ при возмущении управлений; обоснование численных методов оптимального управления; вывод необходимых условий оптимальности (НУО); изучение “особых управлений” НУО и др.). В частности, автором была предложена опирающаяся на это описание схема получения конструктивных достаточных условий сохранения (при возмущении управления) глобальной разрешимости управляемых НКЗ. В статье демонстрируется эффективность ВФУ-описания НКЗ для теории оптимального управления на примере НКЗ для управляемого полулинейного параболического уравнения. Рассматриваются вопросы получения достаточных условий сохранения (при возмущении управления) глобальной разрешимости НКЗ и вывода НУО для сингулярных в смысле Ж.-Л. Лионса задач оптимального управления. Показывается, что некоторые задачи оптимизации, которые относили к сингулярным, можно к таковым не относить, а при выводе для них НУО привести их к классической форме и действовать по схеме варьирования управлений.