Точные решения типа диффузионных волн для нелинейного вырождающегося параболического уравнения второго порядка

В настоящей статье рассмотрено нелинейное эволюционное параболическое уравнение второго порядка с вырождением, являющееся математической моделью ряда физических и биологических процессов. Для него изучена проблема построения и исследования точных решений, имеющих тип диффузионной (тепловой, фильтрационной) волны с заданным фронтом. Их построение осуществляется путем применения анзаца специального вида и сводится к интегрированию задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, которая наследует особенность исходной постановки. Для ее раскрытия применяется следующий трехэтапный подход. На первом этапе производится понижение порядка уравнения путем перехода в фазовую плоскость. Далее строится решение в виде ряда по степеням новой независимой переменной, в качестве которой выступает исходная искомая функция. Наконец, доказывается сходимость ряда посредством построения положительной мажоранты. Отдельный раздел работы посвящен отысканию конструктивной оценки радиуса сходимости ряда, которая, в частности, показывает, что последний существенно отличен от нуля. Предложенный подход к построению оценок обладает высокой адаптивной способностью, что позволяет существенно улучшить их при конкретном задании входящих констант.