On a class of vertex-primitive arc-transitive amply regular graphs

Обыкновенный $k$-регулярный граф с $v$ вершинами называется вполне регулярным с параметрами $(v, k, \lambda, \mu)$, если любые две смежные вершины имеют точно $\lambda$ общих соседей, а любые вершины, находящиеся на расстоянии $2$ в этом графе, имеют точно $\mu$ общих соседей. Пусть $G$ — конечная группа, $H \le G$, ${\mathfrak{H}} = \{H^g \,|\, g \in G \}$ — соответствующий класс сопряженности подгрупп группы $G$ и $1\le d $ — целое число. Построим обыкновенный граф $\Gamma(G, H, d)$ следующим образом$\rm{:}$ вершинами графа $\Gamma(G, H, d)$ являются элементы класса ${\mathfrak{H}}$, и две различные вершины $H_1$ и $H_2$ из ${\mathfrak{H}}$ смежны в $\Gamma(G, H, d)$ тогда и только тогда, когда $|H_1 \cap H_2| = d$. В данной работе мы доказываем, если $q$ — степень простого числа такая, что $13 \le q \equiv 1 \pmod{4}$, $G=SL_2(q)$ и $H$ — диэдральная максимальная подгруппа группы $G$ порядка $2(q-1)$, то граф $\Gamma=\Gamma(G, H, 8)$ является вершинно примитивным транзитивным на дугах вполне регулярным графом с параметрами $\left(\dfrac{q(q+1)}{2}, \dfrac{q-1}{2}, 1, 1\right)$, при этом ${\rm Aut}(PSL_2(q)) \le {\rm Aut}(\Gamma)$. Более того, мы показываем, что $\Gamma=\Gamma(G, H, 8)$ содержит совершенный $1$-код, в частности, диаметр этого графа больше $2$.