О совпадении графов Грюнберга - Кегеля почти простой группы и неразрешимой группы Фробениуса

Пусть $G$ — конечная группа. Множество порядков всех элементов группы $G$ называется ее спектром и обозначается через $\omega(G)$. Простым спектром $\pi(G)$ группы $G$ называется множество всех простых делителей ее порядка. Графом Грюнберга — Кегеля (или графом простых чисел) $\Gamma(G)$ группы $G$ называется обыкновенный граф, множество вершин которого совпадает с множеством $\pi(G)$, и две вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $pq \in \omega(G)$. Из структурной теоремы Грюнберга — Кегеля следует, что класс конечных групп с несвязными графами Грюнберга — Кегеля широко обобщает класс конечных групп Фробениуса, роль которых в теории конечных групп совершенно исключительна. Естественным образом возникает вопрос о совпадении графов Грюнберга — Кегеля конечной группы Фробениуса и конечной почти простой группы с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Ответ на этот вопрос известен в случаях, когда группа Фробениуса разрешима и когда почти простая группа совпадает со своим цоколем. В этой короткой заметке мы даем ответ на этот вопрос в случае, когда группа Фробениуса неразрешима, а цоколь почти простой группы изоморфен группе $PSL_2(q)$ для некоторого $q$.