Аналитические диффузионные волны в нелинейной параболической модели “хищник - жертва”

В настоящей статье рассмотрена система двух нелинейных вырождающихся параболических уравнений, которые представляют собой нелинейные аналоги уравнения Фишера — Колмогорова — Петровского — Пискунова. Данная система лежит в основе математической модели “хищник — жертва”. Интересной ее особенностью является существование решений типа диффузионных (тепловых, фильтрационных) волн, распространяющихся по нулевому фону с конечной скоростью. Такое поведение решений несвойственно линейным системам и в нелинейном случае объясняется наличием вырождения. В работе для указанной системы рассмотрена задача о построении диффузионной волны по заданному фронту. Доказана теорема существования и единственности кусочно-аналитического решения задачи. Доказательство носит конструктивный характер: решение построено в виде степенных рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами, локальная сходимость доказана методом мажорант. Полученные результаты выполнены в традициях научной школы академика А. Ф. Сидорова, для которой, в частности, характерно использование метода рядов для решения параболических задач с вырождением. Отметим, что подобные исследования ранее проводились для одиночных уравнений, а также для систем типа “реакция — диффузия”, более простых по своей структуре, нежели рассматриваемая здесь. Последнее делает невозможным автоматическое перенесение ранее полученных результатов и накладывает свой отпечаток как на построение решения, так и на доказательство сходимости. Сходимость локальна, однако некоторое представление о поведении решения вне области сходимости могут дать полученные точные решения типа бегущей волны. При построении произведена редукция исходной задачи к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Указанную систему удалось проинтегрировать в квадратурах, решения выписаны в явном виде. Полученные формулы в дальнейшем могут быть использованы для верификации численных расчетов.