Ассимиляция данных о свободной поверхности потока жидкости для нахождения ее вязкости

Рассматривается модель течения вязкой двухфазной несмешивающейся несжимаемой жидкости и решается обратная задача для нахождения вязкости этой жидкости по известному местоположению ее свободной поверхности. Математическая модель сводится к решению задачи, описываемой уравнением Навье — Стокса в поле силы тяжести, уравнением несжимаемости, уравнением адвекции границы раздела двух фаз, а также соответствующими начальными и граничными условиями. Плотность и вязкость жидкости зависят от пространственной координаты и времени. Рассматриваемая задача является некорректной, т. е. малые погрешности в задании исходных данных и вычислительные погрешности могут привести к большим погрешностям в результате решения задачи. Для численного моделирования таких задач требуется применение специальных методов, которые гарантируют устойчивость вычислительного процесса по отношению к этим погрешностям. Цель данной работы состоит в построении методов и алгоритмов устойчивого численного моделирования рассматриваемой обратной задачи. Для решения обратной задачи предлагается воспользоваться вариационным методом и заменить исходную задачу экстремальной задачей на минимум подходящего функционала невязки между замерами местоположения свободной поверхности жидкости и ее местоположением, полученным в результате решения специально построенной управляемой динамической системы. Искомое решение такой экстремальной задачи последовательно приближается решениями финально-краевых задач управления для сопряженной системы, которая представляет градиент целевого функционала. Одной из трудностей такого подхода является численное моделирование задач управления ввиду их нелинейности. Для минимизации функционала невязки могут применяться некоторые варианты градиентных методов. Градиент функционала невязки и шаг спуска по антиградиенту определяются аналитически, что позволяет существенно с ократить объем вычислений.