|
О неравенстве Колмогорова для первой и второй производных на оси и периоде
П. Ю. Глазырина, Н. С. Паюченко Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина, г. Екатеринбург
Аннотация:
В работе изучается неравенство
$\|y'\|_{L_q(G)}\le K(r,p,G) \|y\|_{L_r(G)}^{1/2}\|y''\|_{L_p(G)}^{1/2}$
на вещественной оси $G=\mathbb{R}$ и периоде $G=\mathbb{T}$
для значений параметров $q\in [1,\infty)$, $r\in (0, \infty]$,
$p\in[1, \infty ]$, $1/r+1/p=2/q$.
Доказано, что точная константа $K(r,p,\mathbb{R})$ равна точной константе $K_1$ в неравенстве $\|u'\|_{L_q[0,1]}\le K_1 \|u\|_{L_r[0,1]}^{1/2} \|u''\|_{L_p[0,1]}^{1/2}$ по множеству выпуклых на $[0,1]$ функций $u$, имеющих абсолютно непрерывную производную и удовлетворяющих условию $u'(0)=u(1)=0.$
Как следствие этого утверждения равенство
$K(r,p,\mathbb{R})=K(r,p,\mathbb{T})$, установленное в 2003 г. В. Ф. Бабенко, В. А. Кофановым и С. А. Пичуговым для $r\ge 1$,
распространено на $r\ge 1/2.$
Также для $p=1$, $r\in[1,\infty)$ получено новое доказательство
равенства $K(r,1,\mathbb{R})=(r+1)^{1/(2(r+1))}$ $q=2r/(r+1)$, установленного в 1975 г. В. В. Арестовым и В. И. Бердышевым.
Ключевые слова:
Неравенство Колмогорова, неравенства для норм функций и их производных, точные константы, вещественная ось, период.
Поступила в редакцию: 04.04.2022 Исправленный вариант: 02.05.2022 Принята в печать: 04.05.2022
Образец цитирования:
П. Ю. Глазырина, Н. С. Паюченко, “О неравенстве Колмогорова для первой и второй производных на оси и периоде”, Тр. ИММ УрО РАН, 28, № 2, 2022, 84–95
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/timm1906 https://www.mathnet.ru/rus/timm/v28/i2/p84
|
|