Теорема Гильберта о базисе для полукольца косых многочленов

В статье изучаются полукольца косых многочленов. Такие полукольца являются обобщениями как полуколец многочленов, так и косых колец многочленов. Пусть $\varphi$ — эндоморфизм полукольца $S$. Левым полукольцом косых многочленов над $S$ называется множество многочленов вида $f=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k,$ $a_i\in S,$ с обычными сложением и умножением, заданными правилом $xa=\varphi (a)x$. Известно, что полукольцо многочленов над нётеровым полукольцом не обязано быть нётеровым. В 1976 г. Л. Дейл ввел понятие монического идеала полукольца многочленов $S[x]$ над коммутативным полукольцом, т. е. такого идеала, который вместе с любым своим многочленом $f=\ldots+ax^k+\ldots$ содержит любой его одночлен $ax^k$. Было показано, что нётеровость полукольца $S$ влечет обрыв возрастающих цепочек монических идеалов из $S[x]$. В нашей статье исследуются монические идеалы полукольца косых многочленов $S[x,\varphi]$. Для их описания рассматриваются $\varphi$-цепи коэффициентных множеств идеалов полукольца $S[x,\varphi]$. Основным результатом является доказательство того, что для автоморфизма $\varphi$ левая (правая) нётеровость полукольца $S$ равносильна конечности строго возрастающих цепочек левых (правых) монических идеалов в полукольце $S[x,\varphi]$. Приведены примеры, показывающие, что инъективности эндоморфизма $\varphi$ недостаточно для справедливости сформулированного результата.