Обратные задачи в классе дистанционно регулярных графов диаметра 4

Для дистанционно регулярного графа $\Gamma$ диаметра $4$ граф $\Delta=\Gamma_{1,2}$ может быть сильно регулярным. В этом случае граф $\Gamma_{3,4}$ является сильно регулярным, дополнительным к $\Delta$. Нахождение массива пересечений графа $\Gamma$ по параметрам графа $\Gamma_{3,4}$ является обратной задачей. В данной работе решена обратная задача в случае антиподального графа $\Gamma$ диаметра $4$. Здесь $r=2$ и $\Gamma_{3,4}$ — сильно регулярный граф без треугольников. Далее, $\Gamma$ является $AT4(p,q,r)$-графом только в случае $q=p+2,r=2$. Ранее авторы доказали, что $AT4(p,p+2,2)$-граф не существует. Графом Крейна назовем сильно регулярный граф без треугольников для которого достигается равенство в границе Крейна (равносильно, $q^2_{22}=0$). Граф Крейна $\mathrm{Kre}(r)$ со вторым собственным значением $r$ имеет параметры $((r^2+3r)^2,r^3+3r^2+r,0,r^2+r)$. Для графа $\mathrm{Kre}(r)$ антиокрестность вершины сильно регулярна с параметрами $((r^2+2r-1)(r^2+3r+1),r^3+2r^2,0,r^2)$ и пересечение антиокрестностей двух смежных вершин сильно регулярно с параметрами $((r^2+2r)(r^2+2r-1),r^3+r^2-r,0,r^2-r)$. Пусть $\Gamma$ — антиподальный граф диаметра $4$ и $\Delta=\Gamma_{3,4}$ — сильно регулярный граф без треугольников. В работе доказано, что $\Delta$ не может быть графом с параметрами $((r^2+2r-1)(r^2+3r+1),r^3+2r^2,0,r^2)$, а если $\Delta$ — граф с параметрами $((r^2+2r)(r^2+2r-1),r^3+r^2-r,0,r^2-r)$, то $r>3$.
Затем доказано, что дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{32,27,12(r-1)/r,1;1,12/r,27,32\}$ существует только при $r=3$, а для графа с массивом $\{96,75,32(r-1)/r,1;1,32/r,75,96\}$ имеем $r=2$.