Асимптотика решения одной задачи быстродействия с неограниченным целевым множеством для линейной системы в критическом случае

В настоящей работе исследована задача оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с гладкими геометрическими ограничениями на управление в виде шара и неограниченным целевым множеством:
$$ \left\{ \!\!\!\!\!
\begin{array}{llll} &\dot{x}=y,\,&\ x,\,y\in \mathbb {R}^{2m},\quad u\in \mathbb {R}^{2m},\\[1ex] & \varepsilon^2\dot{y}=Jy+u,&\,\|u\|\leqslant 1,\quad 0<\varepsilon\ll 1,\\[1ex] & x(0)=x^0\neq 0,\quad y(0)=y^0,\\[1ex] & x(T_\varepsilon)=0,\quad T_\varepsilon \longrightarrow \min,& \end{array}
\right. $$
где $ J=\displaystyle\left(
\begin{array}{rr} 0&I_m \\ 0&0\end{array}
\right). $ Основное отличие от ранее рассмотренных систем с быстрыми и медленными переменными заключается в том, что в данном случае матрица при быстрых переменных представляет собой многомерный аналог жордановой клетки второго порядка с нулевым собственным числом и, следовательно, не удовлетворяет стандартному условию асимптотической устойчивости. Доказана разрешимость задачи. Выписана основная система уравнений для нахождения решения. В случае $m=1$ получена и обоснована полная асимптотика в смысле Пуанкаре по асимптотической последовательности $\varepsilon^q\ln^p\varepsilon$, $q\in\mathbb {N}$, $q-1\ge p\in\mathbb {N}\cup\{0\}$ времени быстродействия и вектора, порождающего оптимальное управление.