Ряды Тейлора для резольвент операторов на графах с малыми ребрами

В работе рассматривается эллиптический самосопряженный оператор второго порядка на графе с малыми ребрами. Такой граф получается путем сжатия в $\varepsilon^{-1}$ раз одного заданного графа с последующим приклеиванием его к другому фиксированному графу; здесь $\varepsilon$ — малый положительный параметр. Никаких существенных ограничений на эту пару графов не накладывается. На таком графе задается общий самосопряженный эллиптический оператор второго порядка, его дифференциальное выражение содержит производные всех порядков с переменными коэффициентами и переменный потенциал. Граничные условия в вершинах графа также выбираются общего вида. Все коэффициенты как в дифференциальном выражении, так и в граничных условиях могут дополнительно зависеть от малого параметра $\varepsilon$; данная зависимость предполагается аналитической. Ранее было установлено, что части резольвенты рассматриваемого оператора, соответствующие ее сужениям на ребра фиксированной длины и на малые ребра, аналитичны по $\varepsilon$ как операторы в соответствующих пространствах, при этом сужение на малые ребра следует дополнительно обернуть парой операторов растяжения. Аналитичность означает возможность представления этих операторов в виде соответствующих рядов Тейлора. Первый основной результат настоящей работы — процедура, аналогичная согласованию асимптотических разложений, для рекуррентного определения всех коэффициентов данных рядов Тейлора. Второй основной результат — представление резольвенты сходящимся рядом, аналогичным ряду Тейлора с эффективными оценками остатков.