Порядковые оценки констант Лебега сумм Фурье в пространствах Орлича

В работе рассматривается задача о порядковых оценках норм частичных сумм тригонометрических рядов Фурье как операторов из пространств Орлича $L^{\varphi}_{2\pi}$ в пространство $2\pi$-периодических непрерывных функций $C_{2\pi}$. Установлено, что для произвольной порождающей класс Орлича функции $\varphi$ справедлива оценка
$$ ||S_n(f)||_{C_{2\pi}} \le C \varphi ^{-1} (n) \ln (n+1) ||f||_{L^{\varphi}_{2\pi}}, \tag {*} $$
где $f \in L^{\varphi}_{2\pi}$, $ n \in \mathbb{N}$, $S_n(f)$ — $n$-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции $f$, а константа $C>0$ не зависит от $f$ и от $n$. Кроме того, показано, что если функция $\varphi$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то оценка ($\ast $) может быть улучшена. А именно, справедливо неравенство
$$ ||S_n(f)||_{C_{2\pi}} \le C \varphi ^{-1} (n) ||f||_{L^{\varphi}_{2\pi}}, \qquad f \in L^{\varphi}_{2\pi}, \, n \in \mathbb{N}, \, C=C(\varphi ). \tag {**} $$
Далее в работе строятся контрпримеры, показывающие, что если $\varphi$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то на пространстве $ L^{\varphi}_{2\pi}$ оценка ($\ast \ast $) является не улучшаемой по порядку, а если $\varphi$ удовлетворяет $\Delta^2$-условию, то на пространстве $ L^{\varphi}_{2\pi}$ не улучшаемой по порядку будет оценка ($\ast $).