Вычисление в реальном времени дробной производной Капуто по зашумленным данным. Случай непрерывных измерений

Рассматривается одна из постановок “классических” задач математического анализа — задача нахождения производной функции. Значения функции измеряются непрерывно на конечном отрезке времени с некоторой погрешностью. На основании этих значений в работе предлагается алгоритм приближенного вычисления дробной производной Капуто на основе методов теории управления (по закону обратной связи). Сначала задача вычисления дробной производной заменяется обратной задачей для управляемой системы. Для полученной обратной задачи применяется метод динамического обращения, позволяющий построить алгоритм ее решения, устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений и работающий в режиме реального времени. Алгоритм базируется на двух ключевых элементах. Первый из них — это широко известные в теории гарантированного управления конструкции метода экстремального прицеливания Н. Н. Красовского. Второй — это локальная модификация классического метода регуляризации А. Н. Тихонова со сглаживающим функционалом. В работе получен порядок сходимости предложенного алгоритма. Рассмотрен численный пример, иллюстрирующий применение разработанной методики для вычисления дробных производных Капуто от конкретных функций в режиме реального времени.