On the convergence of minimizers and minimum values in variational problems with pointwise functional constraints in variable domains

Рассмотрены последовательность выпуклых интегральных функционалов $F_s:W^{1,p}(\Omega_s)\to\mathbb R$ и последовательность слабо полунепрерывных снизу и, вообще говоря, не интегральных функционалов $G_s:W^{1,p}(\Omega_s)\to\mathbb R$, где $\{\Omega_s\}$ — последовательность областей в $\mathbb R^n$, содержащихся в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), и $p>1$. Наряду с этим рассмотрена последовательность замкнутых выпуклых множеств $V_s=\{v\in W^{1,p}(\Omega_s): M_s(v)\leqslant 0\,\,\text{п.в. в}\,\,\Omega_s\}$, где $M_s$ — отображение $W^{1,p}(\Omega_s)$ во множество всех функций, определенных на $\Omega_s$. Описаны условия, при которых минимизанты и минимальные значения функционалов $F_s+G_s$ на множествах $V_s$ сходятся к минимизанту и минимальному значению некоторого функционала на множестве $V=\{v\in W^{1,p}(\Omega): M(v)\leqslant 0\,\,\text{п.в. в}\,\,\Omega\}$, где $M$ — отображение $W^{1,p}(\Omega)$ во множество всех функций, определенных на $\Omega$. В частности, требуется, чтобы последовательность пространств $W^{1,p}(\Omega_s)$ была сильно связана с пространством $W^{1,p}(\Omega)$ и последовательность $\{F_s\}$ $\it{\Gamma}$-сходилась к функционалу, определенному на $W^{1,p}(\Omega)$. При этом основное внимание уделено условиям на отображения $M_s$ и $M$, которые вместе с соответствующими требованиями на участвующие области и функционалы обеспечивают сходимость решений рассматриваемых вариационных задач. Такие условия были получены в нашей недавней работе, и в настоящей статье мы продвинулись в их изучении.