Порождающие множества сопряженных инволюций групп $SL_n(q)$ при $n=4,5,7,8$ и нечетном $q$

В 2009 г. Дж.М. Уорд дал ответ для спорадических и знакопеременных групп и для проективных специальных линейных групп $PSL_n(q)$ над полем нечетного порядка $q$, исключая случай $q=9$ при $n\geq 4$, а при $n=6$ и случай $q\equiv 3\!\!\mod\!4$, на вопрос 14.69в) из Коуровской тетради, сформулированный вторым автором статьи: для каждой конечной простой неабелевой группы $G$ найти минимум числа $n_c(G)$ порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно единице. Известно, что $n_c(G)\geq 5$ для любой простой неабелевой группы $G$. В данной статье ограничение $q\neq 9$ снимается для размерностей $n=4,5,7,8$. Оказалось, что в этих размерностях порождающие пятерки сопряженных инволюций, произведение которых равно единице, для специальных линейных групп $SL_n(q)$, а следовательно, и для $PSL_n(q)$, указанные Дж.М. Уордом, годятся и при $q=9$.