Сходимость собственных элементов краевой задачи типа Стеклова для оператора Ламэ

Исследуется краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе, содержащей малое отверстие. На боковых границах полуполосы и на границе малого отверстия заданы однородные граничные условия Дирихле, а на основании полуполосы задано спектральное условие Стеклова. Доказана теорема о сходимости собственных элементов такой краевой задачи к решению предельной задачи (в полуполосе без отверстия) при стремлении к нулю малого параметра $\varepsilon>0$, характеризующего диаметр отверстия. Для доказательства теоремы было введено пространство бесконечно дифференцируемых вектор-функций, обладающих конечным интегралом Дирихле по полуполосе, и доказан ряд вспомогательных утверждений. Интеграл Дирихле для вектор-функции определен как сумма интегралов Дирихле компонент. Во вспомогательных утверждениях, в частности, доказано, что из слабой сходимости в метрике введенного пространства последовательности вектор-функций, определенных на полуполосе, следует сходимость их сужений на основание полуполосы в метрике пространства $L_2$. Кроме того, доказано, что для решений краевых задач типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе с малым отверстием из слабой сходимости сужений на основание полуполосы вытекает сильная сходимость в той же области. Для каждого значения параметра $\varepsilon$ определен оператор сужения решений рассматриваемых краевых задач на основание полуполосы. Также доказана сходимость последовательности операторов, обратных к операторам сужения при $\varepsilon\to0$. Физическая интерпретация решения исследуемой в статье сингулярно возмущенной краевой задачи состоит в том, что это решение представляет собой вектор деформации упругой однородной изотропной среды, заполняющей двумерную область с малым отверстием. Уравнение Ламэ — это уравнение равновесия, при выполнении которого возможно сохранение неподвижного состояния упругой среды в форме пластины. Граничные условия Дирихле на боковых границах полуполосы и на границе малого отверстия соответствуют жесткому закреплению упругой пластины. Заданное на основании полосы спектральное условие Стеклова представляет собой сложное упругое закрепление. Собственные значения и собственные вектор-функции краевой задачи характеризуют возможные собственные колебания упругой пластины.