О связи некоторых групп, порожденных 3-транспозициями, с группами Кокстера

Группы Кокстера, более известные как группы, порожденные отражениями, имеют многочисленные приложения в различных областях математики и за ее пределами. Группы с 3-транспозициями Фишера также связаны со многими структурами: конечные простые группы, тройные графы, геометрии различных пространств, алгебры Ли и др. Пересечение этих классов групп состоит из конечных групп Вейля $W(A_n)\simeq S_{n+1}$, $W(D_n)$, $W(E_n)$ ($n=6,7,8$) простых конечномерных алгебр и групп Ли. В работе продолжается исследование связи между конечными группами $Sp_{2l}(2)$ и $O^\pm_{2l}(2)$ из пп. (ii)–(iii) теоремы Фишера и бесконечными группами Кокстера. Организующей основой исследуемой связи являются общие графы-деревья Кокстера $\Gamma_n$ с вершинами $1,\ldots,n$. Каждой вершине $i$ графа $\Gamma_n$ ставятся в соответствие порождающая инволюция (отражение) $s_i$ группы Кокстера $G_n$, базисный вектор $e_i$ пространства $V_n$ над полем $F_2$ из двух элементов и порождающая трансвекция $w_i$ подгруппы $W_n=\langle w_1,\ldots,w_n\rangle$ из $SL(V_n)=SL_n(2)$. Графу $\Gamma_n$ соответствует точно одна группа Кокстера ранга $n$: $G_n=\langle s_1,\ldots,s_n\mid (s_is_j)^{m_{ij}},\, m_{ij}\leq 3\rangle$, где $m_{ii}=1$, $1\leq i<j\leq n$ и $m_{ij}=3$ или $m_{ij}=2$ в зависимости от того, есть в $\Gamma_n$ ребро $(i,j)$ или такого ребра нет. Определенная по графу $\Gamma_n$ форма превращает $V_n$ в ортогональное пространство, группа изометрий $W_n$ которого порождается указанными выше трансвекциями (3-транспозциями) $w_1,\ldots,w_n$; при этом в $W_n$ выполняются соотношения $(w_iw_j)^{m_{ij}}=1,$ и, значит, отображение $s_i\to w_i$ ($i=1,\ldots,n$) продолжается до сюрьективного гомоморфима $G_n\to W_n$. В предыдущей работе авторов для всех групп $W_n=O^\pm_{2l}(2)$ ($n=2l\geq 6$) и $W_n= Sp_{2l}(2)$ ($n=2l+1\geq 7$) был указан алгоритм перечисления соответствующих им графов-деревьев $\Gamma_n$ с помощью группировки их по $E$-сериям вложенных друг в друга графов. В настоящей работе установлена самая тесная генетическая связь между группами $O^\pm_{2l}(2)$, $Sp_{2l}(2)\times \mathbb{Z}_2$ ($3\leq l\leq 10$) и соответствующими (бесконечными) группами Кокстера $G_n$ с разницей в генетических кодах точно на один ген (соотношение). Для групп $W_n$ c графами $\Gamma_n$ из $E$-серий $\{ E_n\}$, $\{ I_n\}$, $\{ J_n\}$ и $\{ K_n\}$ дополнительные слова-соотношения выписаны в явном виде.