On a refinement of Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities

В статье доказано уточненное неравенство типа Марцинкевича — Зигмунда c квадратичным остаточным членом
$$ \frac{1}{2}\sum_{j=0}^{nm-1}(x_{j+1}-x_{j-1})w(x_j)|t_n(x_{j})|^q=(1+O(m^{-2}))\int\limits_{-\pi}^{\pi}w(x)|t_n(x)|^q\,dx, \quad 2\leq q<\infty, $$
где $t_n$ — произвольный тригонометрический полином степени не больше $n$, $-\pi=x_0<x_1<\cdots <x_{mn}=\pi$, $\max\limits_{0\leq j\leq mn-1}(x_{j+1}-x_{j})=O\Big(\displaystyle\frac{1}{nm}\Big)$, $m,n\in\mathbb{N}$ и $w$ — вес типа Якоби. Также показано, что квадратичный остаточный член $O(m^{-2})$ в общем случае является точным. Аналогичные результаты получены при $q=\infty$ и в случае многих переменных. Ключевые слова: многочлены от нескольких переменных, неравенства типа Марцинкевича — Зигмунда, Бернштейна и Шура, дискретизация нормы $L^p$, веса типа Якоби и с условием удвоения.