Об устойчивом восстановлении аналитических функций по выборке из коэффициентов ряда Фурье

Рассматривается задача об устойчивости восстановления аналитической функции по значениям $2m+1$ коэффициентов ее ряда Фурье, которые могут быть взяты из произвольного симметричного множества $\delta_m \subset \mathbb{Z}$ мощности $2m+1$. Известно, что для $\delta_m = \{ j\colon |j| \le m\}$, т. е. если коэффициенты берутся последовательно, наибольшей возможной скоростью сходимости при устойчивом восстановлении является экспонента от квадратного корня из $m$. Любой метод с большей скоростью будет сильно неустойчивым. В частности, экспоненциальная сходимость влечет экспоненциальную же неустойчивость. В этой работе мы показываем, что при свободе выбора множеств $(\delta_m)$ существуют операторы восстановления $(\phi_{\delta_m})$, которые сходятся с экспоненциальной скоростью и при этом почти устойчивы, а именно, с не более чем линейным ростом чисел обусловленности $\kappa_{\delta_m} < c \cdot m$. Мы также показываем, что этот результат не может быть заметно усилен, а именно, для любых множеств $(\delta_m)$ и любых операторов восстановления $(\phi_{\delta_m})$ экспоненциальная сходимость возможна, только если $\kappa_{\delta_m} \ge c \cdot m^{1/2}$.