Некоторые дополнения к неравенствам С. Б. Стечкина по прямым и обратным теоремам теории приближений непрерывных периодических функций

В статье приводятся некоторые дополнения и комментарии к неравенствам между элементами последовательности наилучших приближений $\{E_{n-1}(f)\}_{n=1}^{\infty}$ и модулями гладкости $k$-го порядка $\omega_k(f^{(r)};\delta),$ $\delta\in [0,+\infty)$, функции $f\in C^r(\mathbb{T})$, где $k\in \mathbb{N},$ $r\in \mathbb{Z}_+$, $f^{(0)}\equiv f,$ $C^0(\mathbb{T})\equiv C(\mathbb{T}),$ $\mathbb{T}=(-\pi,\pi]$, полученным С. Б. Стечкиным при исследовании прямых и обратных теорем теории приближений $2\pi$-периодических непрерывных функций и опубликованным в 1951 году. В работе, в частности, установлена справедливость следующих утверждений:
$\mathrm{a)}$ прямая теорема, или неравенство Джексона — Стечкина: $E_{n-1}(f)\le C_1(k)\omega_k(f;\pi/n),\ n\in \mathbb{N}$, допускает усиление вида $E_{n-1}(f)\le \rho_{n}^{(k)}(f)\equiv n^{-k}\max\{\nu^k E_{\nu-1}(f)\colon 1\le \nu\le n\}\le 2^kC_1(k)\omega_k(f;\pi/n),\ n\in \mathbb{N}$, которое является точным в смысле порядка на классе всех функций $f\in C(\mathbb{T})$ с заданной мажорантой либо с заданным порядком убывания модуля гладкости $\omega_k(f;\delta)$, а именно: для любых $k\in \mathbb{N}$ и $\omega\in \Omega_k(0,\pi]$ существует функция $f_0(\cdot;\omega)\in C(\mathbb{T})$ (точнее, четная $f_0$ при нечетном $k$ и нечетная $f_0$ при четном $k$) такая, что $\omega_k(f_0;\delta)\asymp C_2(k)\omega(\delta)$, $\delta\in (0,\pi]$, при этом имеют место порядковые равенства $E_{n-1}(f_0)\asymp C_3(k)\rho_n^{(k)}(f_0)\asymp C_4(k)\omega_k(f_0;\pi/n)\asymp C_5(k)\omega(\pi/n),\ n\in \mathbb{N}$, где $\Omega_k(0,\pi]$ — класс функций $\omega=\omega(\delta)$, определенных на $(0,\pi]$ и удовлетворяющих условиям: $0<\omega(\delta)\!\downarrow\!0$ $(\delta\downarrow 0)$ и $\delta^{-k}\omega(\delta)\!\downarrow$ $(\delta\uparrow)$;
$\mathrm{b)}$ для справедливости обратной теоремы (без производных), или неравенства Салема — Стечкина: $\omega_k(f;\pi/n)\le C_6(k)n^{-k}\sum_{\nu=1}^n\nu^{k-1}E_{\nu-1}(f)$, $n\in \mathbb{N}$, необходимо и достаточно выполнение неравенства Стечкина $\|T_n^{(k)}(f)\|\le C_7(k)\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k-1}E_{\nu-1}(f),\ n\in \mathbb{N}$, где $T_n(f)\equiv T_n(f;x)$ — тригонометрический полином наилучшего в $C(\mathbb{T})$ приближения функции $f\colon \|f-T_n(f)\|=E_n(f),\ n\in \mathbb{Z}_+$;
$\mathrm{c)}$ обратную теорему (с производными), или неравенство Валле-Пуссена — Стечкина: $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)\le C_8(k,r)\big\{ n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+r-1}E_{\nu-1}(f)+\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f)\big\}$, $n\in \mathbb{N}$, а также предшествующее ему неравенство Стечкина $E_{n-1}(f^{(r)})\le C_9(r)\big\{ n^r E_{n-1}(f)+\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f)\big\},\ n\in \mathbb{N}$, при условии $E(f;r)\equiv \sum_{n=1}^{\infty}n^{r-1}E_{n-1}(f) <\infty$, гарантирующем в силу теоремы С. Н. Бернштейна, что $f\in C^r(\mathbb{T})$, где $r\in \mathbb{N}$, можно дополнить ключевыми неравенствами $\|f^{(r)}\|\le C_{10}(r)E(f;r)$, $\|T_n^{(r)}(f)\|\le C_{7}(r) \sum_{\nu=1}^n\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f),$ $n\in \mathbb{N}$, при этом все сформулированные в этом пункте неравенства являются попарно равносильными, т. е. выполнение хотя бы одного из этих неравенств влечет выполнение любого другого неравенства и, следовательно, всех остальных.