Задача Чебышева об экстремальных значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов

Работа посвящена изучению экстремальной задачи Чебышева 1883 г. о наибольшем и наименьшем значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов с фиксированным нулевым моментом на конечных и бесконечных интервалах с весом. Для первого момента на отрезке $[-1,1]$ задача была решена П.Л. Чебышевым в случае единичного веса и Г. Сеге — в общем случае. Экстремальными значениями первого момента оказались наибольшие и наименьшие нули некоторых ортогональных многочленов. В решении использованы представление неотрицательных многочленов и квадратурная формула Гаусса наивысшей точности. Мы решаем задачу Чебышева об экстремальных значениях моментов порядка $k\ge2$ для любых интервалов $(a,b)$, если $k$ нечетное, и для интервалов, у которых $a\ge 0$ или $b\le 0$, если $k$ четное. Эти интервалы характеризуются тем, что функция $x^k$ на них монотонная. Как и при $k=1$ экстремальные значения моментов порядка $k$ являются $k$-ми степенями наибольших и наименьших нулей некоторых ортогональных многочленов. Другие нули этих многочленов также имеют экстремальный характер. Они дают экстремальные значения в обобщении задачи Чебышева на случай многочленов с фиксированными нулями. Для решения обобщенной задачи Чебышева построены специальные квадратурные формулы. Решение задачи Чебышева получается как частный случай решения обобщенной задачи Чебышева. В некоторых случаях из-за отсутствия второго конца у бесконечного интервала не удается построить необходимые квадратурные формулы и приходится непосредственно решать задачу Чебышева, опираясь на представление неотрицательных многочленов. Кроме отмеченных случаев для моментов четного порядка удается решить задачу Чебышева на интервале $(-a,a)$, если вес четный. В общем случае вопрос о решении задачи Чебышева для моментов четного порядка остается открытым.