|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Задача Чебышева об экстремальных значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов
В. И. Иванов Тульский государственный университет
Аннотация:
Работа посвящена изучению экстремальной задачи Чебышева 1883 г. о наибольшем и наименьшем значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов с фиксированным нулевым моментом на конечных и бесконечных интервалах с весом. Для первого момента на отрезке $[-1,1]$ задача была решена П.Л. Чебышевым в случае единичного веса и Г. Сеге — в общем случае. Экстремальными значениями первого момента оказались наибольшие и наименьшие нули некоторых ортогональных многочленов. В решении использованы представление неотрицательных многочленов и квадратурная формула Гаусса наивысшей точности.
Мы решаем задачу Чебышева об экстремальных значениях моментов порядка $k\ge2$ для любых интервалов $(a,b)$, если $k$ нечетное, и для интервалов, у которых $a\ge 0$ или $b\le 0$, если $k$ четное. Эти интервалы характеризуются тем, что функция $x^k$ на них монотонная.
Как и при $k=1$ экстремальные значения моментов порядка $k$ являются $k$-ми степенями наибольших и наименьших нулей некоторых ортогональных многочленов. Другие нули этих многочленов также имеют экстремальный характер. Они дают экстремальные значения в обобщении задачи Чебышева на случай многочленов с фиксированными нулями. Для решения обобщенной задачи Чебышева построены специальные квадратурные формулы. Решение задачи Чебышева получается как частный случай решения обобщенной задачи Чебышева. В некоторых случаях из-за отсутствия второго конца у бесконечного интервала не удается построить необходимые квадратурные формулы и приходится непосредственно решать задачу Чебышева, опираясь на представление неотрицательных многочленов.
Кроме отмеченных случаев для моментов четного порядка удается решить задачу Чебышева на интервале
$(-a,a)$, если вес четный. В общем случае вопрос о решении задачи Чебышева для моментов четного порядка остается открытым.
Ключевые слова:
моменты алгебраических многочленов, задача Чебышева, квадратурные формулы, ортогональные многочлены.
Поступила в редакцию: 31.08.2020 Исправленный вариант: 05.11.2020 Принята в печать: 09.11.2020
Образец цитирования:
В. И. Иванов, “Задача Чебышева об экстремальных значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, № 4, 2020, 138–154
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/timm1772 https://www.mathnet.ru/rus/timm/v26/i4/p138
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 181 | PDF полного текста: | 38 | Список литературы: | 28 |
|