Аналог теоремы Адамара и связанные экстремальные задачи на классе аналитических функций

Исследуется несколько взаимосвязанных экстремальных задач для аналитических функций в конечносвязной области $G$ c жордановой спрямляемой границей $\Gamma.$ Получено точное неравенство между значением аналитической функции в области $G$ и весовыми средними ее граничных значений
$$ |f(z_0)| \le \mathcal{C}\, \|f\|^{\alpha}_{L^{q}_{\varphi_1}(\gamma_1)}\, \|f\|^{\beta}_{L^{p}_{\varphi_0}(\gamma_0)}, \quad z_0\in G,\quad 0<q, p\le\infty, $$
на двух измеримых подмножествах $\gamma_1$ и $\gamma_0=\Gamma\setminus\gamma_1$ границы области, являющееся аналогом теорем Адамара о трех кругах и братьев Неванлинна о двух константах. Для двусвязной области $G$ и $1\le q,p\le\infty$ изучается, когда неравенство дает значение модуля непрерывности функционала аналитического продолжения функции в заданную точку области с части границы $\gamma_1.$ В этих случаях решены соответствующие задача оптимального восстановления функции в точке области по приближенно заданным граничным значениям на $\gamma_1$ и задача наилучшего приближения функционала линейными ограниченными функционалами. Случай односвязной области $G$ ранее полностью исследован.