1-решеточные изоморфизмы моноидов, разложимых в свободное произведение

Пусть $M$ и $M'$ — моноиды. Обозначим через $\rm {Sub}^1M$ решетку всех подмоноидов моноида $M$. $1$-решеточным изоморфизмом моноида $M$ на моноид $M'$ называется всякий изоморфизм решетки $\rm {Sub}^1M$ на решетку $\rm {Sub}^1M'$. Говорят, что биекция $\varphi$ моноида $M$ на моноид $M'$ индуцирует 1-решеточный изоморфизм $\psi$ $M$ на $M'$, если $\varphi(K)=\psi(K)$ для любого подмоноида $K\in\rm {Sub}^1M$. Моноид $M$ строго $1$-решеточно определяется, если всякий его $1$-решеточный изоморфизм на произвольный моноид индуцируется некоторым изоморфизмом или антиизоморфизмом. Похожие понятия группы, строго определяющейся решеткой подгрупп и полугруппы, строго определяющейся решеткой подполугрупп, давно привлекали внимание и активно изучались в классах групп и полугрупп. В случае моноидов здесь почти ничего не было известно. Однако около 40 лет назад был поставлен вопрос: будет ли произвольный моноид, разложимый в свободное произведение, строго 1-решеточно определяться? Получен исчерпывающий ответ на этот вопрос, а именно доказано, что произвольный моноид, нетривиальным образом разложимый в свободное произведение, строго 1-решеточно определяется. Этот результат перекликается с известными утверждениями о строгой решеточной определяемости как группы, нетривиальным образом разложимой в свободное произведение, так и полугруппы, разложимый в свободное произведение.