О связных компонентах фрактальных кубов

В статье показывается существенное отличие фрактальных кубов от фрактальных квадратов. В основе топологической классификации фрактальных квадратов, полученной в 2013 г. К.-С. Лау с соавторами, лежит рассмотрение свойств $\mathbb{Z}^2$-периодического расширения $H=F+\mathbb{Z}^2$ и его дополнения $H^c=\mathbb{R}^2\setminus H$. Фрактальный квадрат $F\subset\mathbb{R}^2$ содержит отличную от отрезка или точки связную компоненту тогда и только тогда, когда $H^c$ содержит ограниченную связную компоненту. Мы показываем, что существует фрактальный куб $F$ в $\mathbb R^3$, для которого множество $H^c$ связно, а множество $Q$ связных компонент $K_\alpha$ куба $F$ обладает следующими свойствами: $Q$ — вполне несвязное самоподобное подмножество гиперпространства $C(\mathbb R^3)$, билипшицево изоморфное канторову множеству $C_{1/5}$; все множества $K_\alpha+\mathbb{Z}^3$ связны и попарно не пересекаются; множество значений хаусдорфовых размерностей $\dim_H(K_\alpha)$ совпадает с некоторым промежутком $[a,b]$.