О свойствах неприводимых представлений специальных линейных и симплектических групп, небольших относительно характеристики поля и регулярного унипотентного элемента из подсистемной подгруппы

В работе изучаются свойства неприводимых представлений специальной линейной и симплектической групп, небольших относительно характеристики поля и регулярных унипотентных элементов непростого порядка из подсистемных подгрупп типов $A_l$ и $C_l$ соответственно с определенными условиями на $l$. Пусть $K$ — алгебраически замкнутое поле характеристики $p>2$, $G=A_r(K)$ или $C_r(K)$, $l<r-1$ при $G=A_r(K)$ и $l<r$ при $G=C_r(K)$, $H\subset G$ — подсистемная подгруппа с двумя простыми компонентами $H_1$ и $H_2$ типов $A_l$ и $A_{l-r-1}$ или $C_l$ и $C_{r-l}$ соответственно, $x$ — регулярный унипотентный элемент из $H_1$. Предположим, что $l+1=ap^s+b$ при $G=A_r(K)$ и $2l=ap^s+b$ при $G=C_r(K)$, где $a<p$, $p\leq b\leq p^s$, $s>1$. Назовем неприводимое представление $\varphi$ группы $G$ $(p,x)$-специальным, если все веса ограничения представления $\varphi$ на хорошую $A_1$-подгруппу, содержащую $x^{p^s}$, меньше $p$ (здесь множество весов группы типа $A_1$ канонически отождествляется с множеством целых чисел). Обозначим символом $d_{\rho}(z)$ минимальный многочлен образа элемента $z$ в представлении $\rho$ и назовем композиционный фактор $\psi$ ограничения представления $\varphi$ на $H$ большим относительно элемента $z\in H$, если $d_{\psi}(z)=d_{\varphi}(z)$. Основные результаты статьи — теоремы 1 и 2.
$\bf{Теорема~1.}$ Пусть $\varphi$ — $(p,x)$-специальное представление группы $G$. Тогда ограничение $\varphi$ на $H$ не имеет композиционных факторов, больших относительно $x$ и нетривиальных для $H_2$.
$\bf{Теорема~2.}$ В условиях теоремы 1 число блоков Жордана максимальной размерности у элемента $\varphi(x)$ не превосходит некоторого числа, которое зависит только от $p$, $b$ и коэффициентов старшего веса и не зависит от ранга группы.
В статье показано, почему изучаемый здесь случай целесообразно рассматривать отдельно. Так, для $p$-ограниченных представлений соответствующих групп с большими относительно характеристики старшими весами справедливы утверждения, противоположные теоремам 1 и 2. Результаты о блочной структуре образов унипотентных элементов в представлениях алгебраических групп могут быть использованы для решения задач распознавания представлений и линейных групп по наличию матриц определенного вида.