Выпуклость и монотонная линейная связность множеств с непрерывной метрической проекцией в трехмерных пространствах

Непрерывная кривая $k(\,{\cdot}\,)$ в линейном нормированном пространстве $X$ называется монотонной, если функция $f(k(\tau))$ монотонна по $\tau$ для любого экстремального функционала $f$ из единичной сферы $S^*$ сопряженного пространства. Замкнутое множество называется монотонно линейно связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной монотонной кривой, лежащей в этом множестве. Устанавливается, что в трехмерном банаховом пространстве любое замкнутое множество c полунепрерывной снизу метрической проекцией монотонно линейно связно, если и только если норма пространства является цилиндрической или гладкой. Этот результат частично обобщает недавний результат автора этой статьи и Б. Б. Беднова, которые охарактеризовали трехмерные банаховы пространства, в которых всякое чебышёвское множество монотонно линейно связно. Мы показываем, что в конечномерном пространстве любое замкнутое множество c полунепрерывной снизу (непрерывной) метрической проекцией выпукло, если и только если пространство гладко. Получен ряд новых свойств строгих солнц в трехмерных пространствах c цилиндрической нормой. Показано, что в трехмерном пространстве c цилиндрической нормой замкнутое множество $M$ c полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Более того, такое множество $M$ имеет стягиваемые пересечения c замкнутыми шарами и обладает непрерывной выборкой из метрической проекции. При доказательстве результатов важную роль играет новый аппарат аппроксимации единичной сферы пространства многогранниками, построенными по касательным направлениям сферы.