О генетических кодах некоторых групп с 3-транспозициями

Группы Кокстера имеют многочисленные приложения в математике и за ее пределами, а группы с 3-транспозициями Б. Фишера лежат в основе внутреннего геометрического анализа теории конечных (простых) групп. Пересечение этих классов групп состоит из конечных групп Вейля $W(A_n)\simeq S_{n+1}$, $W(D_n)$, $W(E_n)$ ($n=6,7,8$) простых конечномерных алгебр и групп Ли. В предыдущих работах А. И. Созутова, А. А. Кузнецова и автора были найдены системы $S$ порождающих трансвекций (3-транспозиций) групп $Sp_{2m}(2)$ и $O^\pm_{2m}(2)$, графы $\Gamma (S)$ которых являются деревьями. Множество $\{ \Gamma_n\}$ ($n\geq m$) вложенных друг в друга графов называем $E$-серией, если они являются деревьями, содержат подграф $E_6$ и их подграфы с вершинами $m,m+1,\ldots,n$ являются простыми цепями. В настоящей работе найдены генетические коды групп $Sp_{2m}(2)$ и $O^\pm_{2m}(2)$, $8\leq 2m\leq 20$, близкие к генетическим кодам некоторых групп Кокстера. Основная гипотеза исследований: группы $Sp_{2m}(2)$ и $O^\pm_{2m}(2)$ (пп. (ii)–(iii) в теореме Фишера) можно получить из соответствующих бесконечных групп Кокстера с помощью одного или двух дополнительных соотношений вида $w^2=1$. Рассматриваемые в работе графы $I_n$ содержат подграф $E_6$ и составляют $E$-серию вложенных графов $\{I_n\,\mid\, n=7, 8,\ldots\}$, в которых подграф $I_n\setminus E_6$ — простая цепь. В работе доказано, что для групп $X(I_n)$, полученных из групп Кокстера $G(I_n)$ наложением дополнительного соотношения $(s_4^ts_7)^2=1$, где $t=s_3s_2s_1s_5s_6s_3s_2s_5s_3s_4$, при указанных пределах изменения $n=4k+\delta$ ($\delta =0,1,2$) имеют место изоморфизмы $X(I_{4k+1})\simeq Sp_{4k}(2)\times Z_2$, $X(I_{2m})\simeq O^\pm_{2m}(2)$ (знак $\pm$ зависит от $m$). В доказательстве используется алгоритм Тодда — Кокстера системы GAP.