Неравенство Бернштейна - Сеге в пространстве $L_0$ для тригонометрических полиномов

Неравенства вида $\|f_n^{(\alpha)}\cos\theta+\tilde{f}_n^{(\alpha)}\sin\theta\|_p\le B_n(\alpha,\theta)_p \|f_n\|_p$ для классических производных при $\alpha\in\mathbb{N}$ и производных Вейля вещественного порядка $\alpha\ge 0$ тригонометрических полиномов $f_n$ порядка $n\ge 1$ и их сопряженных при вещественном $\theta$ и $0\le p\le \infty$ называют неравенствами Бернштейна — Сеге. Они являются обобщением классического неравенства Бернштейна ($\alpha=1$, $\theta=0$, $p=\infty$). Такие неравенства изучаются уже более 90 лет. Задача исследования неравенства Бернштейна — Сеге состоит в изучении свойств наилучшей (наименьшей) константы $B_n(\alpha,\theta)_p,$ ее точного значения и экстремальных полиномов, на которых это неравенство обращается в равенство. Г. Сеге (1928), А. Зигмунд (1933), А. И. Козко (1998) показали, что в случае $p\ge 1$ для вещественных $\alpha\ge 1$ и любых вещественных $\theta$ для наилучшей константы выполняется равенство $B_n(\alpha,\theta)_p=n^\alpha.$ Представляют интерес неравенства Бернштейна — Сеге при $p=0$ как минимум по той причине, что среди всех $0\le p\le\infty$ константа $B_n(\alpha,\theta)_p$ является наибольшей по $p$ при $p=0$. В 1981 г. В. В. Арестов доказал, что при $r\in\mathbb{N}$ и $\theta=0$ в пространствах $L_p,\,0\le p<1,$ неравенство Бернштейна выполняется с константой $n^r$, т. е. $B_n(r,0)_p=n^r$. В 1994 г. он доказал, что при $p=0$ для производной сопряженного полинома порядка $r\in\mathbb{N}\cup\{0 \}$, т. е. при $\theta=\pi/2$, точная константа имеет показательный рост по $n$, а точнее, справедливо соотношение $B_n(r,\pi/2)_0=4^{n+o(n)}$. В двух недавних работах автора (2018) получен подобный результат для производных Вейля положительного нецелого порядка при любом вещественном $\theta$. В данной работе доказано, что формула $B_n(\alpha,\theta)_0=4^{n+o(n)}$ имеет место и для производных неотрицательных целых порядков $\alpha$ и произвольных вещественных $\theta\neq \pi k,\,k\in\mathbb{Z}$.