Полуполевые плоскости ранга 2, допускающие группу $S_3$

Одна из классических задач проективной геометрии — построение объекта по известным ограничениям на его автоморфизмы. Рассматриваются конечные проективные плоскости, координатизируемые полуполем, т. е. алгебраической системой, удовлетворяющей аксиомам тела, за исключением ассоциативности умножения. Такая плоскость является плоскостью трансляций и обладает также транзитивной группой элаций с аффинной осью. Пусть $\pi$ — полуполевая плоскость порядка $p^{2n}$ с ядром, содержащим $GF(p^n)$ ($p$ — простое число), группа линейных автотопизмов которой содержит подгруппу $H$, изоморфную симметрической группе $S_3$. Для построения и исследования таких плоскостей применяется подход с использованием линейного пространства и регулярного множества — специального семейства линейных преобразований. Построено матричное представление подгруппы $H$ и регулярного множества полуполевой плоскости для $p=2$ и $p>2$. Изучена возможность присутствия центральных коллинеаций в подгруппе $H$. Показано, что полуполевая плоскость порядка $3^{2n}$ с ядром $GF(3^n)$ не допускает $S_3$ в группе линейных автотопизмов. Найдены примеры полуполевых плоскостей порядков 16 и 625, допускающих $S_3$. Полученные результаты могут быть обобщены на случай полуполевых плоскостей ранга более двух и могут быть использованы, в частности, при исследовании известной гипотезы о разрешимости полной группы коллинеаций конечной недезарговой полуполевой плоскости.