О некоторых группах 2-ранга один

Строение конечных групп 2-ранга 1 во многом определяется классическими теоремами Бернсайда и Брауэра–Судзуки. Бернсайд доказал, что в каждой конечной группе с циклической силовской 2-подгруппой все элементы нечетного порядка составляют нормальную подгруппу. С. И. Адян показал, что в классе периодических групп аналогичное утверждение неверно даже в случае, когда силовская 2-подгруппа имеет порядок 2 и совпадает с центром группы. Результаты Бернсайда, Брауэра и Судзуки можно сформулировать в виде одной теоремы: в конечной группе $G$ 2-ранга 1 образ любой инволюции в фактор-группе $G/O(G)$ лежит в центре этой фактор-группы. Неизвестно, справедливо ли аналогичное утверждение, если $G$ — периодическая группа (вопрос 4.75 В. П. Шункова из “Коуровской тетради”). Ответ неизвестен даже в случае, когда централизатор инволюции $i$ — локально циклическая группа (вопрос 15.54 В. Д. Мазурова из “Коуровской тетради”). В теореме 1 статьи приводится частичный положительный ответ на вопрос 4.75 при дополнительном условии: в группе $G$ инволюция $i$ порождает с каждым элементов порядка, не делящегося на 4, конечную подгруппу. В частности, вопрос 4.75 решается положительно в классе бинарно конечных и сопряженно бинарно конечных групп. В теореме 2 статьи исследуется строение не локально конечной группы $G$ с конечной инволюцией и инволюцией $i$, централизатор которой — локально циклическая 2-группа. Инволюция $i$ группы $G$ называется конечной, если для каждого $g \in G$ подгруппа $\langle i, i^g \rangle$ конечна. В частности, теорема 2 определяет структуру контрпримера (в предположении его существования) к вопросу 15.54.